Здравствуйте! К сожалению, директор прав. В случае наличия налоговых правонарушений (например, за несвоевременную подачу декларации) к ответственности привлекается именно руководитель организации, который прописан в документах. Поэтому чем быстрее Вы уволитесь, тем лучше. Вам достаточно направить заявление об увольнении по собственному желанию заказным письмом по месту регистрации предприятия и подождать один месяц, после чего Вы будете считаться уволенной.
Каждый случай налоговой ответственности необходимо разбирать отдельно, поэтому о том, как ее избежать, следует говорить предметно. Но общим замечанием будет являться отсутствие Вашей вины, так как фактическое руководство предприятием осуществлял другой человек.

На практике такие заявления направляются на имя собственников предприятия.

Тогда ликвидируйте фирму самостоятельно. Вы как учредитель и собственник предприятия можете сами решать судьбу генерального директора, коим Вы и являетесь.